מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב

Transcript

1 מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי למדעי המחשב יוני 05, גרסה 0.9 מבוא נתחיל עם כמה דגשים: דף הקורס נמצא באתר. שאלות בנוגע לחומר הלימודי מומלץ לשאול בדף השיחה באתר של הקורס. נכון לעכשיו יש הגשת תרגילים, עם בדיקה חלקית. נשמח לכל הערה על מסמך זה. אינטגרל מסוים לפי רימן הגדרה.. יהי b] [a, קטע סגור. נקרא ל- b T : a = 0 < < < n = חלוקה של הקטע b].[a, נסמן i i = i לכל n}.i {,,..., הגדרה.. תהא f פונקציה מוגדרת בקטע b] [a, ותהא < < T : a = 0 < n = b חלוקה של הקטע. בכל קטע ] i [ i, נבחר נקודה α i ונבנה את סכום רימן עבור החלוקה,T הפונקציה f והנקודות i= {α i } n לפי σ T α,... a n ) := fα i ) i i=

2 הגדרה.3. פרמטר החלוקה של T מוגדר להיות ) i.λt ) = ma נאמר כי סדרה של חלוקות } n {T היא נורמלית אם = 0 ) n.lim n λt הגדרה.. נאמר שקיים הגבול lim λt ) 0 σt ) = I אם לכל > 0 ϵ קיימת > 0 δ המקיימת: לכל חלוקה T עם פרמטר חלוקה λt ) < δ ולכל בחירה של } i α} מתקיים. σ T α,..., α n ) I < ϵ b נהוג לסמן גבול זה. f)d הוא נקרא האינטגראל המסוים) של רימן.Riemann) a במקרה זה נאמר כי f אינטגרבלית רימן בקטע [b,a]. באופן לא פורמלי, מטרת האינטגרל היא לחשב את השטח שכלוא בין עקומה לציר ה-. משפט.5. פונקציה רציפה או מונוטונית בקטע [b,a] אינטגראבלית שם. משפט.6. אם פונקציה f חסומה בקטע [b,a] ויש לה שם קבוצה סופית או ליתר דיוק בת מניה) של נקודות אי רציפות, אזי f אינטגרבילית בקטע [b,a]. להדגיש כי תנאי הכרחי לאינטגראביליות רימן היא חסימות הפונקציה.) b משפט.7. אם F פונקציה קדומה של פונקציה רציפה f בקטע [b,a] אזי = f)d a.f b) F a) 5 תרגיל..8 חשבו את האינטגרל ) d 5. 0 פתרון. דרך אחת היא בעזרת משולש בגרף הפונקציה. הדרך הכללית היא לחשב עם חלוקה נורמלית את ) d = lim λt ) 0 5 α k ) k k= לפי המשפט הנ ל, הפונקציה f) = 5 אינטגרבילית בקטע [5,0], מפני שהיא רציפה שם. אפשר לבחור כל סדרה של חלוקות } n T}. בפרט, נבחר חלוקה שווה = 5 0 n = 5 n

3 lim n k= 5 5k ) 5 n n = lim n = lim n 5 k,α k = 0 + ונחשב: n = 5k n k= עם נקודת קצה ימנית 5 n 5k ) 5 = lim n n n n 5 n ) 5 5 nn + ) n 3. 0 = 5 5 = 5 ) k k= ) תרגיל.9. חשבו את האינטגרל d פתרון. לפי המשפט הנ ל, הפונקציה f) = אינטגרבילית בקטע [3,0] כי היא רציפה שם. נבחר חלוקה שווה של [3,0]: = 3 0 n = 3 n 3 0 ) d = lim n 3k ),α k = 0 + k ) 3 = ונחשב: n n = lim n = lim n = lim n ) ) 3k ) 3 n n k= n 7 ) k ) n3 k= n n 7 k k + n 3 k= k= n n 7 nn + )n + ) n3 6 = 7 6 = 9 = 39 עם נקודת קצה שמאלית )) k= + 5 nn + ) 7 n3 n n 3 הערה. נשים לב כי ניתן להוכיח באינדוקציה כי ) k = k= nn + )n + ) 6 הגדרה.0. תהא A קבוצה. הפונקציה המציינת או הפונקציה האופיינית) A χ A : 3

4 A χ A ) = 0 / A {,0} של A מוגדרת לפי דוגמה.. הפונקציה ) f) = χ [0,] ) + χ,] רציפה למקוטעין ב ] [0, ולכן f)d = f)d + f)d = d = + = + [ ] = d תרגיל.. הוכיחו כי פונקצית דיריכלה Dirichlet) בקטע [,0] המוגדרת לפי 0 Q D) = / Q אינה אינטגראבלית. נעיר כי לפעמים הפונקציה מוגדרת הפוך, כפונקציה המציינת של Q, אך אין זה משנה לתרגיל זה.) פתרון. D) אינה אינטגראבלית כי עבור = 0.5 ϵ לכל חלוקה T עם פרמטר חלוקה הקטן מ- 0.5 נוכל לבחור את } i α} להיות מספרים אי רציונליים ואז σ T α,... a n ) = Dα i ) i = i= i = 0 = i= n. = בבחירה ביתר פירוט: נבחר חלוקה שווה של הקטע [,0] וברור כי 0 n ] i α i ] i, תמיד אפשר לבחור נקודה רציונלית או נקודה אי רציונלית, ולכן סכום רימן יכול לקבל כל ערך בין 0 ל-. למשל אם נחבר רק נקודות רציונליות נקבל כי Dα i ) i = i= 0 i = 0 i= ולכן סכומי הרימן השונים במקרה זה לא מתכנסים לאותו הגבול.

5 תרגיל.3. קבעו האם הפונקציה המוגדרת לפי > 0 f) = 0 = 0 אינטגרבילית בקטע [,0]. פתרון. הפונקציה לא אינטגרבילית, כי = f),lim 0 n + כלומר כי f) אינה חסומה ב-[,0]. תרגיל.. קבעו האם הפונקציה המוגדרת לפי sin ) 0 f) = 0 = 0 אינטגרבילית בקטע [, ]. פתרון. הפונקציה כן אינטגרבילית, כי f) לכל ] [,. כלומר f) חסומה בקטע ויש לה נקודת אי רציפות אחת ב- 0 =. תרגיל.5. הוכיחו או הפריכו: אם פונקציה f אינטגרבילית בקטע [b,a], אז f אינטגרבילית בקטע [b,a]. Q f) = / Q פתרון. נפריך בעזרת הדוגמה הבאה: = χ Q ) ברור כי f אינטגרבילית בקטע [,0], כי היא קבועה שם. לעומת זאת הפונקציה f לא אינטגרבילית בקטע [,0] מנימוקים דומים לכך שפונקצית דיריכלה לא אינטגרבילית. ביתר פירוט, אם בחלוקה הבחירה } i α} נבחר רק נקודות רציונליות נקבל שסכום רימן חיובי, ואם נבחר רק נקודות אי רציונליות נקבל שסכום רימן שלילי. 5

6 L = lim n 6 תרגיל.6. השתמשו באינטגרל מסויים על מנת לחשב את הגבול 6 + n n L = lim + n n n = lim n n k= 6 k n = n n ) 6 n n n n 0 n n = π = π פתרון. נחשב כאשר בשלבים האחרונים השתמשנו בכך שאנו יודעים מהו השטח של רבע עיגול + ] [ n ושחישבנו את האינטגרל בקטע [,0] עם חלוקה שווה = ובחירה,y. k ), k שהיא הקצה הימני של הקטע α n n k = k n תרגיל.7. תהיינה f ו- g פונקציות אינטגרביליות בקטע [b,a]. הוכיחו כי גם הפונקציה b a f + g) d = b a fd + ) f + g אינטגרבילית שם ומתקיים הוכחה. תהי T : a = 0 < < < n = b חלוקה כלשהי של הקטע b].[a, נחשב lim λt ) 0 k= b a gd f + g) α k ) k = lim fα k ) k + gα k ) k ) λt ) 0 k= ) = lim fα k ) k + gα k ) k λt ) 0 = lim λt ) 0 = b a k= fα k ) k + k= b fd + k= lim λt ) 0 gα k ) k והשיוויון האחרון מתקיים כי הגבולות קיימים, שהרי לפי הנתון f ו- g פונקציות אינטגרביליות, 6 a gd k=

7 ולכן f + g אינטגרבילית, כדרוש. סכומי רימן, סכומי דרבו והמשפט היסודי משפט. תנאי רימן לאינטגרביליות). הפונקציה f) אינטגרבילית בקטע [b,a] אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים: lim λt ) 0 k=.[a, b] חסומה בקטע f).. נסמן ] k I k = [ k, עבור k n. מתקיים ) sup f) inf f) k = 0 I k I k תזכורת כמה משפחות של פונקציות אינטגרביליות: פונקציות רציפות בקטע [b,a]. פונקציות מונוטוניות בקטע [b,a]. פונקציות חסומות ובעלות מספר סופי של נקודות אי רציפות בקטע [b,a]. פונקציות חסומות ובעלות קבוצה בת מנייה של נקודות אי רציפות בקטע [b,a]. שאלה. ממבחן תשע ד). הוכיחו כי אם f פונקציה אינטגרבילית בקטע [,0], אזי גם הפונקציה f אינטגרבילית בקטע [,0]. רמז: ניתן להשתמש בעובדה הנובעת מאי שיוויון המשולש: sup f) inf I I f) sup f) inf f) I I להסיק כי לא רק הערות: השאלה נכונה גם באופן כללי עבור [b,a]. כמו כן אפשר b f)d b. הצד השני של ש- f אינטגרבילית אלא גם שמתקיים a f) d a אי שיוויון המשולש באופן כללי הוא y. y 7

8 פתרון. נוכיח כי f מקיימת את שני התנאים של תנאי רימן לאינטגרביליות. ראשית, נתון כי f אינטגרבילית בקטע [,0] ולכן חסומה שם. כלומר קיים קבוע M R כך ש- M f, ולכן גם f חסומה בקטע [,0]. שנית, אם T חלוקה כלשהי של הקטע [,0], לפי הרמז נשים לב כי 0 k= ) sup f) inf f) k I k I k k= ) λt ) 0 sup f) inf f) k 0 I k I k הסכום הימני שואף לאפס לפי הנתון ש- f אינטגרבילית, ולכן מתקיים lim λt ) 0 k= ) sup f) inf f) k = 0 I k I k שהוא התנאי השני הדרוש. לכן f אינטגרבילית בקטע [,0].. אינטגראבליות לפי דארבו הגדרה..3 תהא f) פונקציה חסומה בקטע b] [a, ותהא < < T : a = 0 <.m i = inf Ik f) וכן M k = sup Ik f) חלוקה של הקטע. נסמן n = b.darbou) נקרא הסכום התחתון של דרבו ST ) = n הסכום k= m k k ST ) = n נקרא הסכום העליון של דרבו. הסכום k= M k k רימן. שימו לב כי סכומי דרבו העליון והתחתון כבר לא תלויים בבחירת } k α} כמו בסכום הגדרה.. תהא T חלוקה של הקטע [b,a]. נקרא לחלוקה T של הקטע [b,a] העדנה של T או עידון של T) אם היא מכילה את כל נקודות החלוקה של T, ואולי עוד נקודות. משפט.5 תכונת המונוטוניות של סכומי דרבו). תהא f) פונקציה אינטגרבילית בקטע b] [a, ותהי } n {T סדרה של חלוקות של b] [a, כך שלכל k n החלוקה T k היא ST 0 ) ST ) ST n ) b a העדנה של החלוקה k T. אזי f)d ST n ) ST n )... ST 0 ) 8

9 כלומר סדרת סכומי דרבו התחתונים היא מונוטונית עולה, וסדרת סכומי דרבו העליונים היא מונוטונית יורדת, ושתיהן מתכנסות לאינטגרל המסוים של f) בקטע [b,a]. גרסה קצרה יותר של משפט זה: תהא T חלוקה של הקטע [b,a], ותהא T העדנה שלה. אז מתקיים ) ST ST ) וגם ) ST.ST ) משפט.6. פונקציה f) היא אינטגראבילית בקטע [b,a] אם ורק אם) לכל > 0 ε קיימת חלוקה T של הקטע כך ש ST ) ST ) < ε. תרגיל.7. הוכיחו כי π הוכחה. נתבונן בפונקציה f) = בקטע ].[0, זו פונקציה רציפה בקטע הנ ל, ולכן אינטגרבילית בו. נבחר חלוקה < 0.75 < 0.5 < 0.5 < 0 :.T בחלוקה זו = לכל.I k f) מונוטונית יורדת בקטע [,0] ולכן סכום דרבו התחתון הוא ST ) = ) כי הערך המינימלי של הפונקציה בכל תת קטע מתקבל בקצה הימני שלו. באופן דומה, סכום דרבו העליון הוא ST ) = ) 0.75 כי הערך המקסימלי של הפונקציה בכל תת קטע מתקבל בקצה השמאלי שלו. כמו כן ידוע לנו כי השטח של רבע מעגל היחידה הוא d = π. 0 לפי תכונת המונוטוניות של סכומי דרבו מתקיים ST ) 0 d ST ) ) 0.75 π ) ולכן

10 ונכפול ב- כדי לקבל את אי השיוויון המבוקש. תרגיל.8 ממבחן תשע ג). תהא f) פונקציה מונוטונית עולה ממש בקטע [,0]. סדרו את הערכים הבאים מהקטן ביותר לגדול ביותר: f0). f). 3 f0) + f ) + 3 f)).3 3 f 3 3 ) + f 3 ) + f)) i= fi 300 ) i= f i 300 ).6 f)d.7 0 פתרון. נגדיר שלוש חלוקות < 0,T 0 : העידון שלה < 3 < 3 < 0 T : והעידון ST 0 ) ST ) ST ) < 0 =.T אזי מתקיים 300 < 300 < < 99 שלה < f)d ST ) ST ) ST 0 ) וכיוון ש- f מונוטונית מתקיים: 0

11 ST 0 ) = f0) ST 0 ) = f) ST ) = f0) + f 3 3 ) + f 3 )) ST ) = f 3 3 ) + f 3 ) + f)) ST ) = 300 f i ) ST ) = 300 i= 300 i= f i 300 ) הגדרה.9. פונקציה ) F תקרא פונקציה קדומה antiderivative) של פונקציה f) בקבוצה A אם מתקיים לכל A כי f).f ) = משפט.0. תהא f) פונקציה. אם G) F,) שתי פונקציות קדומות שלה בקבוצה,A אזי מתקיים שם F ) = G) + c עבור c קבוע. משפט. המשפט היסודי של החדו א, נוסחת ניוטון-לייבניץ). אם f) פונקציה רציפה בקטע [b,a], ו- ) F פונקציה קדומה של f בקטע [b,a], אזי b a f)d = F b) F a) הערה: בגלל המשפט לעיל לא משנה באיזו פונקציה קדומה בוחרים. יש גרסה גם עבור f אינטגרבילית.)

12 רשימה לא ממצה) של פונקציות קדומות: n d = n+ n + + c n d = ln + c sin d = cos + c cos d = sin + c d = tan + c cos d = cot + c sin a d = a ln a + c e d = e + c tan d = cos cos + c tan d = sin sin + c d = arcsin + c d = arctan + c + הערה.. אם f) F, ) = אזי ניתן לחשב בקלות את ההסטה הלינארית,fa+b). כלומר אם ) F פונקציה קדומה של,f) F a + b)) כי מתקיים b) a = fa + אזי b) F a + היא פונקציה קדומה של b).fa + a תרגיל.3. השתמשו באינטגרל המסוים על מנת לחשב את הגבול ) L = lim n n + n + + n n

13 L = lim n n = lim n lim n n k= ) + n k n ) ) + + n n n = f) רציפה בקטע [,0] ולכן אינטגרבילית בו. לכן n k= k n ) = lim n f k= = arcsin 0 ) k n n = 0 פתרון. נחשב כי ) d = arcsin arcsin 0 = π 6 הפונקציה משפט.. אם f ו- g פונקציות אינטגרביליות בקטע [b,a] ולכל [b,a] מתקיים b. f)d b g)d אז,f) g) a a תרגיל.5 ממבחן תשע ג). הוכיחו כי אם < a < b 0, אזי b a ln d b a הוכחה. לכל [b,a] מתקיים כי.ln לכן לפי המשפט האחרון, b a ln d b a d = b a = b a כדרוש.. e תרגיל.6 ממבחן). הוכיחו כי 0 e d e b אם g)d b פתרון. נשתמש במשפט לפיו אם g f בקטע [b,a], אז f)d a a קיימים). נמצא מינימום ומקסימום של הפונקציה.f) = e הנגזרת היא = ) f f ) = הנגזרת השנייה היא. = ולכן יש נקודה חשודה ב- 0.5 f) ) 3

14 f) f) ) + ולכן ב- 0.5 = יש נקודת מינימום 0) > 0.5) f שהערך.ma {f0), f)} = f) = e לכן e = 0 e 0.5 d בה הוא 0.5 e.f0.5) = נקודת המקסימום מתקבלת באחד הקצוות: 0 e d 0 e d = e 3 שיטות אינטגרציה 3. שיטת ההצבה לפי כלל השרשרת נגזרת של הרכבת פונקציות) מתקיים F g))) = F g))g ) = fg))g ) fg))g )d = F g))) d = F g)) + c ולכן d + + = =. השלמה לריבוע d + ) + = [t = + ] dt = d dt t + = arctant) + c = arctan + ) + c e d = [ t = dt = d ] = e t dt = e + c = e + c. sin) tan)d = d = [t = cos) dt = sin)d] cos) = dt) = ln t + c = ln cos) + c t.3

15 3 3 ) 7 d = [ t = 3 dt = 6d ] = t + dt )t7 3 6 = t 8 + t 7) dt = ) t t8 + c = a d = = a [ a d = t = a ) a dt = ] a d.5 עבור > 0,a t adt = a a arcsint) + c = arcsin a ) + c sin ) cos)d = [t = sin) dt = cos)d] = t dt = t3 3 + c = sin3 ) + c אינטגרציה בחלקים מחוקי נגזרת של מכפלה מתקיים f g) = f g + g f ולכן g )f)d = [f)g)] d f )g)d = f)g) f )g) = f)g) f )g) ln)d = [g ) =, f) = ln)] = ln) d = ln) + c. 5

16 arctan)d = [u =, v = arctan)] = arctan) = arctan) + d + = arctan) arctan)) + c + d..3 F ) = e cos)d = [g ) = cos), f) = e ] = e sin) e sin)d = [u ) = sin), v) = e ] = e sin) e cos) e cos)d ) = e sin) + cos)) F ) ומכאן נקבל cos)) F ) = e sin) + ולכן F ) = e sin) + cos)) = ).I m תחילה [ g =, f = I m ) = + ) d = m = + ) m) m + ) = + ) + m m I =. נחשב באופן רקורסיבי את d + ) m m+ d ] + ) m + + ) m+ d = + ) m + mi m I m+ ) d = עם תנאי התחלה I + m+ = m+ ) m + m ) ולכן m I m.arctan) + c 6

17 דוגמה 3.. לעיתים נדרש ליותר משיטת אינטגרציה אחת. למשל: [ e d = t = dt = ] d = te t dt = [ g = e t, f = t ] = te t e t dt = te t e t + c = e e + c R) = Q) P ) 3.3 מבוא לאינטגרציה של פונקציות רציונליות הגדרה 3.. פונקציה ממשית) R) תקרא רציונלית אם היא מהצורה.I = כאשר ) Q), P הם פולינומים. תרגיל 3.3. חשבו את d +8 פתרון. בדרך כלל, אם מעלת המונה היא n ומעלת המכנה היא + n, ננסה לבדוק f) = f וכן במקרה שלנו + 8. ) שימוש ב- ln. הרי d = ln f) + c f).f ) = ננסה להתאים את המונה: I = d = + 8 d d כאשר במכנה יש פולינום אי פריק ממעלה נכוון ל- arctan : I = ln + 8 d + ) + = ln + 8 ) + arctan + c כאשר במכנה יש פולינום פריק וידוע לנו הפירוק) ניתן להשתמש בשיטה של פירוק לשברים על מנת להוריד את דרגת המכנה. למשל נחפש,A B כך שמתקיים. בהמשך נראה כיצד למצוא פונקציה קדומה של כל פונקציה a) b) = I. = d קל לראות כי המכנה פריק ונחפש,A B כך ש- ) + ) = A + B + 7 = A + B) + A B ) + ) A + B a) b) רציונלית. דוגמה 3.. נחשב

18 ובעזרת השוואת מקדמים נקבל כי = B.A =, לכן I = ) d = + ln ln + )+c = ln + +c 3. הצבות טריגונומטריות. במקרה של פונקציה עם,sin) cos) שאחד מהם בחזקה אי זוגית נבצע הצבה :t = cos) או t = sin) sin) d = [t = cos) dt = sin)d] cos ) ) ) dt t cos) = = arcsin + c = arcsin + c t. אם שניהם מופיעים עם חזקות זוגיות, ניתן לפעמים לפשט את הביטוי בעזרת ) cos) + cos) sin ) cos )d = d = cos)) + cos) + cos ))d 8 זהויות טריגונומטריות: = 8 + cos) + cos ) cos) cos ) cos 3 ) ) d = + cos) cos ) cos 3 ) ) d 8 = + cos) + + cos) )) + cos) cos) d 8 ואפשר להמשיך לבד לפי הנוסחה B)).cosA) cosb) = cosa + B) + cosa 8

19 .3 שימוש בזהות = t).sin t) + cos נניח > 0 :a a d = [ = a sint) d = a cost)dt] a = a sin t)a cost)dt = a sin t) cost)dt = = a cos t)dt = a a cost) + )dt = sint) + t) + c = a sin arcsin ) a ) ) ) + arcsin + c a [ ) arcsin.t = אפשר לפשט את הביטוי a π, ] π : הנחנו כי 0 cost) כי האחרון אם משתמשים בזהות sin).sin) = cos). טיפול בפונקציות רציונליות עם שורשיםיכול להעשות בעזרת פונקציות טריגונומטריות: אם מופיע הביטוי a נציב cost) = a או sint). = a. = a sint) או = a נציב אם מופיע הביטוי cost) a אם מופיע הביטוי a + נציב tant). = a דוגמה 3.5. נחשב [ d = = ] sint)dt, d = = cost) cos t) = sint)dt cos t) cos t) = sint)dt sin t) cos t) = sint) + c = cos t) + c = cos t) sint)dt cos t) cos t) = cos t)dt = cost)dt + c = + c.t = arccos ) : הנחנו ש- 0 sint) כי π] [0, : הנחנו ש- 0 >.cost) אם היינו מניחים ש- 0 < cost) היינו מקבלים 9

20 + c = + c = + c. = כאשר השתמשנו בעובדה ש- = כי < 0 cost) 3.5 המשך אינטגראציה של פונקציות רציונליות עובדה 3.6. יש אלגוריתם לחישוב פונקציה קדומה כל פונקציה רציונלית. : R)d פונקציה רציונלית במשתנה אחד. חישוב R) = Q) P ) אלגוריתם 3.7. תהא. בעזרת חילוק פולינומים ניתן להניח כי ) degp.degq) <. את הפולינום הממשי ) P ניתן להציג כמכפלה של גורמים אי פריקים מהצורה. α ו- + b + c P ) = 3. אם נסמן n m α i ) k i + b j + c j ) l j i= j= אז ניתן להציג את R) בצורה R) = k i i= k i = A i,k i α i ) k i + m l j j= l j = B j,l j + C j,l j + b j + c j ) l j. בצורה זאת אנו מגיעים לשברים יסודיים שהאינטגראל שלהם ידוע. עבור >.k עבור < 0 c.b עבור > k.b c < 0, 0. רשימת שברים יסודיים: d = ln + α. +α d =. +α) k k)+α) k +b d = ln +b+c + b + c.3 +b d =. +b+c) k k) +b+c) k

21 d = a + ) m a m d = + a ) ) m a m ע י החלפת משתנים מגיעים לצורה + I = ונמשיך עם החלק d = 3 adt = I +t) ) m a m m t) =.5 עבור I m שכבר פתרנו. a m I m a ) d = +b+c) m d.6 + b ) + b +c))m שכבר פתרנו..I = תרגיל.3.8 חשבו את 3 d ) פתרון. נפתור לפי האלגוריתם. נשים לב כי d 3 השני. נפרק את המכנה: ) + + ) d ונציג את האינטגרנד לפי האמור בסעיף השלישי של האלגוריתם: ) + + ) = A ) + B + C + + ) נמצא מחדש את המכנה המשותף ונקבל: ). = A + + ) + B + c) בשיטה ישירה, אפשר לפתוח את הסוגריים, להשוות מקדמים ולמצוא את,A. B בשיטה אחרת אפשר להציב ערכים בפולינום, שהרי כיוון שהשיוויון נכון לפולינום, הוא גם נכון עבור הצבות בפולינום פולינום מדרגה n אפשר למצוא בעזרת + n 0 = 3 + C ונקבל =. נציב = 0 3A A = 3 הצבות). נציב = ונקבל. = 7 3 B 3 ) B ונקבל = 3 לבסוף נציב =.C = 3 נמשיך לחשב: ) + + ) d = 3 d d = 3 ln d d = 3 ln + 6 ln ) + d 3 )

22 + ) + d = 3 ) = [ t = + ] = [ u = ] 3 t = dt = t 3 + ) 3 arctan u + c 3 צעד סיום הוא dt 3 t) + בסך הכל קיבלנו כי I = + 3 ln + 6 ln arctan + ) ) 3 תרגיל.3.9 חשבו את.I = 3 d 3 פתרון. נפתור לפי האלגוריתם. תחילה נחלק: 3 3 = 3 ) I = + ) 3 A, d + = = + d + d = + ln ln + c.i = לכן נקבל ) ) + d = d d ) ) A, d + A, d d 7 תרגיל 3.0. חשבו את d +) +)

23 פתרון. נרצה להציג 7 + ) + ) = A + ) + A + ) + B + C + ) + B + C + ) נכפיל במכנה משותף: 7 = A +) +) +A +) +B +C ) +)+) +B +C )+) נציב = ונקבל = 9A,7 כלומר = 3.A נשווה מקדמים: L R A + A + C + C A + A + C + B 0 A + B 0 5 נוסיף עוד משוואות ע י הצבה. אם =, אז 7 = 8A + 9A + B + C + B + C ואם =, אז 7 = 36A + 36A + B + 6C B + C לבסוף נקבל מערכת משוואות A B B C C =

24 נפתור אותה:

25 ולכן קיבלנו כי 3 =.A =, B =, B = 6, C =, C נחזור: I = + ) ) ) = ln d ) ) d + d 3 + ) d 3 = ln ln + + I ) I ) + c 3/ I וכן ) = arctan ולפי נוסחאת הרקורסיה מרשימת האינטגרלים היסודיים ).I לסיכום ) = + ) + I ) I = ln ln + + arctan ) / + ) + arctan ) + c 3.6 הצבה אוניברסלית ההצבה האוניברסלית היא ) t = tan והיא מאפשרת להביע את sin) ו- cos כפונקציה רציונלית של t ולחשב פונקציות קדומות עבור פונקציות רציונליות של פונקציות dt = טריגונומטריות: cos ) + sin ) cos ) d = + t )d d = + t dt cos) = cos ) sin ) = cos ) sin ) cos ) + sin ) = t + t sin) = cos ) sin ) = cos ) sin ) cos ) + sin ) = t + t + ) 5

26 היכן ש- t מוגדר, כלומר π + πn עבור.n Z לדוגמה: d + sin) + cos) = dt +t dt = + t + t + t = +t +t = ln + t + c = ln + tan + c dt + t 3.7 הצבת אוילר לטיפול בשורשים) שיטה אחרת לטיפול בשורשים היא הצבת אוילר, שבה ההצבה שונה אם הפולינום פריק או לא. שיטה זו טובה למציאת. R, a + b + c)d טענה 3.. נניח כי פולינום ממעלה ) פריק מעל הממשיים והוא מן הצורה +b+ a β).c = a α) הצבת אוילר במקרה זה היא α) a + b + c = t ואז a α) β) = a + b + c = t α) a β) = t α) a t ) = aβ αt. הפולינום בשורש פריק ולכן נציב = 3 + = aβ αt ונשים לב כי השורש נעלם. a t + ) ) = + 3 = t + ) = t + ) t ) = + t נקבל d דוגמה 3.. נחשב את +3 ) +.t מכאן ולכן = + t t d = 8t t ) + t + t ) t ) dt = 0t t ) dt 6

27 ונחשב d + 3 = 0t t +t + ) t ) dt = 0t t 5 ) t t t ) dt 0t = 5t t ) dt = t dt = t) + t) dt = + t + ) dt = ln + t ln t + c = ln + t t t + c [ ] + + = t = = ln + + c = ln c + + טענה 3.3. אם הפולינום a + b + c אי פריק, ישנן שתי אפשרויות:. = c t אם > 0 a נציב a + b + c = ± a + t ונקבל ±t a b. = ±t c b שימו לב a ונקבל אם > 0 c נציב a t + b + c = t ± c שבכל מקרה צריך > 0 a כדי שהשורש יהיה מוגדר, אך לפעמים הצבה זו מובילה = ניעזר בהצבת אוילר:.I = לחישוב יותר פשוט. כאשר לא משנה בחירת הסימן ± בהצבה. d 7+6 דוגמה 3.. נחשב את. + t נחלץ את ונקבל = 6 t t = 6 t 6 + 7t + t + t = t + 7 t + 7 d = tt + 7) 6 t ) t + 7) dt = t + 7t + 6) t + 7) dt ולכן 7

28 t + 7t + 6) I = 6 t dt = 6+7t+t t + 7) 6 t dt t+7 t+7 = [ ) 6 dt = u = t ] = t 6 3 u + ) 6du + u 6 6 = 6 ln + u 6 u + c = 6 ln + t 6 t 6 + c 6 = 6 ln 6 + t 6 + c = 6 t 6 ln c הערה 3.5. אם < 0 c,a אז על ידי החלפת משתנים a + b + c = [ a ) ) ] a b c) = b + b a a c חיובי ולכן b a c ). b כלומר הביטוי כיוון ש- 0 < ac a b נקבל כי < 0 c + ) ) + b c a כלל לא מוגדר! חיובי ולכן הביטוי תחת השורש שלילי, ואז השורש a b a 3.8 שיטת המכנה המשותף המינימלי בהנתן ביטוי שבו מופיעים כמשתנים רק, a+b עם חזקות רציונליות, נסמן את החזקות c+d m i ונציב t n = a+b כאשר } i n = lcm{n הכפולה המשותפת המינמלית c+d n i של הביטויים ב- של המכנים). ++) /. נציב דוגמה.3.6 נחשב את +)++) /3 d t 6 = = + 6t5 dt = d 8

29 + + ) / d = t6 + t 3 6t 5 dt = 6 + ) + + ) /3 t 6 + t = 6 t 5 t 3 + t + t כי 3} lcm{,, =.6 אז tt 6 + t 3 ) dt t + 5t t + + t + ) dt t 6 = 6 6 t + t3 3 + t t 5 ) ln t + + arctant) + c נעזרו בחילוק ארוך של פולינומים) ונשארת רק ההצבה חזרה ל פונקציות היפרבוליות הגדרה 3.7. נגדיר את הסינוס ההיפרבולי והקוסינוס ההיפרבולי sinh) = e e cosh) = e + e שמקיימות זהויות דומות מאוד לאלו של פונקציות טריגונומטריות: cosh ) sinh ) = cosh ) = +cosh) sinh ) = cosh) sinh ) = cosh) cosh ) = sinh) sinh) = sinh) cosh) cosh) = cosh ) + sinh ) דוגמה.3.8 חשבו את.I = + d פתרון. בעזרת הצבה נחשב 9

30 I = [ = sinht), d = cosht)dt] = = sinh t) + sinh t)) cosht)dt = sinh t) cosh t)dt = sinht) cosht)) dt cosht) sinht) = sinh t)dt = dt = )) sinh sinh ) ) = sinh + c ) t + c 3.0 נגזרת של פונקציה המוגדרת באמצעות אינטגרל ישומים לאינטגרל מסויים. חישוב שטח. חישוב נפח גוף סיבוב.3 חישוב אורך עקומה 5 אינטגרלים מוכללים 5. אינטגרלים על קטע אינסופי 30

31 5. אינטגרלים על קטע סופי של פונקציות לא חסומות 5.3 תנאים לקיום אינטגרלים בקטע אינסופי משפט 5. מבחן האינטגרל להתכנסות טורים חיוביים). תהי f) פונקציה חיובית מתכנס אם ורק אם מונוטונית יורדת ורציפה בקטע,a]. אזי האינטגרל f)d a הטור החיובי k fa + מתכנס כלומר האינטגרל והטור מתכנסים ומתבדרים יחד). מתבדר. מתכנס אם ם ממבחן העיבוי) הטור I = d +)ln+)) k= k lnk) k=0 תרגיל 5.. הוכח כי האינטגרל d ln) פתרון. האינטגראל מתכנס אם ם הטור מתכנס, אבל ידוע שהטור האחרון מתבדר. I = = I מתכנס. בעזרת I = מתכנס. n= n+)lnn+)) k= k = k ln k ) k= ln) k תרגיל 5.3. קבעו האם הטור פתרון. בעזרת מבחן האינטגרל מספיק להראות כי האינטגרל [ t = ln + ), dt = d ] dt = + ln) t מתכנס. בעזרת הצבה נקבל והאינטגרל מתכנס. arctan n מתכנס. n= תרגיל 5.. קבעו האם הטור +n פתרון. בעזרת מבחן האינטגרל נראה כי האינטגרל arctan d הצבה נקבל + [ t = arctan, dt = d ] = + שימו לב שיש לוודא שמתקיימים תנאי מבחן π π tdt = = 3 3 π האינטגרל מתכנס, ולכן גם הטור.. מונוטונית יורדת לכל arctan האינטגרל. כלומר, שהפונקציה + זאת לפי כך שהנגזרת שלה שלילית לכל. אפשר לראות 3

32 5.3. הערות הערה 5.5. ניתן לנסח גרסאות של משפט ההשוואה ומשפט המנה מבחן ההשוואה הגבולי) גם עבור אינטגרלים על קטע סופי של פונקציות לא חסומות. d מתכנס אם >,r ואחרת ) r הוא הערה.5.6 יהי > 0.a האינטגרל a r מתבדר. אינטגרל זה הוא מאוד שימושי בבדיקה של התכנסות אינטגרלים בקטע אינסופי. b d מתכנס אם < r <,0 אם r הוא מתבדר, הערה.5.7 יהי > 0.b האינטגרל 0 r ואם 0 r הפונקציה אינטגרבילית לפי רימן. אינטגרל זה הוא מאוד שימושי בבדיקה של התכנסות אינטגרלים של פונקציות לא חסומות בקטע סופי. שימו לב שהערכים של r בהם האינטגרל מתכנס או מתבדר הפוכים מן המקרה של אינטגרל בקטע אינסופי. lim 0 = I מתכנס או מתבדר. 0 ln+ 5 3 ) e sin 5. נחשב: 0 ln + 5 ) 3 = lim ln + 5 ) 3 = lim ln+ 5 3 ) תרגיל 5.8. קבעו האם האינטגרל d e sin d 5 פתרון. נשתמש במבחן המנה, ונשווה עם sin e sin sin sin e sin sin = = מתכנס ) < 5 = r ולכן האינטגרל I מתכנס. 0 = I מתכנס או מתבדר.. נחשב: d 5 האינטגרל תרגיל 5.9. קבעו האם האינטגרל d d 3 פתרון. נשתמש במבחן המנה, ונשווה עם lim = lim = lim ) + ) ) + ) = 3 3 מתכנס ולכן האינטגרל I מתכנס. d 3 האינטגרל 3

33 6 סדרות וטורי פונקציות n N סדרה של פונקציות כלומר לכל מספר טבעי f} n {) n N הגדרה 6.. תהי מתאימים את הפונקציה ) f n המוגדרות בתחום.B R יהי 0 B אזי f 0 ) נסמנו lim f n 0 ) היא סדרה של נקודות. אם קיים הגבול {f n 0 )} n n N ונאמר שסדרת הפונקציות מתכנסת נקודתית ב-. 0 הגדרה 6.. תהי A קבוצת כל הנקודות שסדרת הפונקציות {) f} n מתכנסת בהם..f) = lim הקבוצה A נקראת תחום ההתכנסות של הסדרה. לכל A נסמן n) n f הפונקציה f) אם קיימת) נקראת פונקצית הגבול של סדרת הפונקציות. דוגמה.6.3 נקבע התכנסות של f n ) = n בקטע ].[, אז לפי הגדרה lim f n) = lim n n n = 0 < = undefined = {f n )} n N סדרה של פונקציות המוגדרות בתחום.B R נגדיר הגדרה 6.. תהי.S n ) = n f k ) שלה להיות {S n )} n N את סדרת הסכומים החלקיים סס ח) k= את פונקצית הגבול נסמן ).S) = f k דוגמה.6.5 מסדרת הסכומים החלקיים של f n ) = n בקטע ] [, נקבל כי S) = k= < f k ) = = = undefined = k= 6. התכנסות במידה שווה f} n {) n N סדרה של פונקציות עם תחום התכנסות A ופונקצית הגדרה 6.6. תהי גבול.f) נאמר שההתכנסות היא במידה שווה במ ש) אם ε > 0 n 0 N : n > n 0, A : f n ) f) < ε 33

34 הסבר להגדרה: סביב פונקציית הגבול f) ניקח פס- ε, כלומר המרווח בין f) + ε לבין.f) ε הסדרה )} {f n תתכנס במ ש ל- f אם לכל > 0 ε קיים n 0 N כך שממנו והלאה כל פונקציה ) f n תהיה מוכלת כולה בתחום A) בתוך אותו פס- ε. דוגמה.6.7 סדרת הפונקציות = ) f n בכל הישר מתכנסת לפונקציה = 0.f) +n נטען כי ההתכנסות היא במ ש. n 0 > ε ואז לכל n > n 0 ולכל ממשי מתקיים הוכחה. יהי > 0 ε כלשהו. נבחר + n 0 < < < ε + n 0 n 0 דוגמה.6.8 סדרת הפונקציות ) n f n ) = n בקטע ] [0, מתכנסת ל- = 0,f) = ε לכל n נוכל לקחת = n ונקבל אבל ההתכנסות אינה במ ש. למשל, עבור.f n ) = ε f} n {) n N סדרה של פונקציות עם תחום התכנסות A ופונקצית הגדרה 6.9. תהי נקרא טור פונקציות. גבול.f) הטור k) k= f צורת רישום.6.0 בהינתן טור פונקציות ) f k, ההפרש ) r n ) = S) S n k= נקרא השארית של הטור. f} n {) n N סדרה של פונקציות עם תחום הגדרה 6. התכנסות במ ש לטורים). תהי התכנסות A, סס ח {) S} n ופונקצית הגבול של סס ח היא.S) נאמר שההתכנסות ε > 0 n 0 N : n > n 0, A : r n ) = f k ) k= היא במ ש אם f k ) = f k ) < ε k= k=n+ {a k } k N כך משפט 6. מבחן ה- M של ויירשטראס). אם קיימת סדרת מספרים מתכנס שמתקיים f k ) a k לכל A וגם < k a, אז הטור ) f k k= k= 3 במ ש בתחום A.

35 sinn ) n מתכנס במ ש בקטע [3, ] כי מתקיים שם k= מתכנס. sin n ) n k= דוגמה 6.3. הטור וטור המספרים k n משפט 6.. קריטריון קושי להתכנסות במ ש של טור פונקציות נקרא גם קריטריון f} n {) n N עם תחום התכנסות A ופונקצית גבול lim sup f n ) f) = lim sup r n ) = 0 n A n A n [ ] 0, n f n ) = n ) [, ] n n n 0 [, ] n lim sup אומר שסדרת פונקציות f) מתכנסת במ ש אם ם תרגיל 6.5. קבעו האם סדרת הפונקציות מתכנסת במ ש. פתרון. ברור שפונקצית הגבול היא = 0.f) ההתכנסות אינה במ ש כי sup r n ) sup [0,] [0,] f n n ) f n ) = n f k ) = k מתכנסת במ ש בקטע ]?[0, תרגיל.6.6 האם סדרת הפונקציות + k. lim f k נותר פתרון. נתחיל עם התכנסות: יהי בקטע, אזי = 0 lim k) = k k + k k ע י גזירה שלה והשוואה ל- 0 : לבדוק האם ההתכנסות במ ש. נבדוק את + k sup [0,] f k) = k + k ) k k + k ) = 0 ומכאן ש k3 = k ולכן. = k נבדוק האם זו נקודת מינימום או מקסימום f k 0) = 0, f k ) = k + k < = f k ) 35

36 lim sup k [0,] ולכן זו נקודת מקסימום שערכה = k f. כעת, k f k ) f) = lim k 0 מתכנס במ ש בקטע 3]?[, n= ולכן ההתכנסות אינה במ ש. ) n n תרגיל 6.7. האם הטור n ) שאינו טור מתכנס, אבל כיוון שזה טור n פתרון. מבחן ה- M נכשל פה כי 9 n מחליף סימן אנו יודעים לפי לייבניץ כי הטור מתכנס לכל בתחום. פונקצית הגבול ב- S ואז כיוון שממשפט לייביניץ גם מתקיים כעת נסמן את ) k a k a n+ lim sup r n ) lim sup ) n+ n A n A n + lim k=n+ n 9 n + = 0 כלומר ההתכנסות במ ש. f} n {) n N של פונקציות רציפות המתכנסות בקטע משפט 6.8. תהי סדרת פונקציות [b,a], המתכנסת במ ש לפונקציה.f) אזי גם f) רציפה. הערה 6.9. ניתן להחליף את תנאי הרציפות בקטע [b,a] באינטגרביליות רימן בקטע, ואז פונקציית הגבול גם היא אינטגרבילית רימן. לפי המשפט, אם הפונקציה f) אינה רציפה בתחום ההתכנסות A, אזי בהכרח הסדרה {) f} n אינה מתכנסת במ ש. הערה 6.0. שימו לב ששלילת המשפט אינה נכונה. תתכן סדרת פונקציות שאינה מתכנסת במ ש, אך מתכנסת לפונקצית גבול רציפה. למשל הסדרה ) n f n ) = n ) בקטע [,0] אינה מתכנסת במ ש, למרות שפונקצית הגבול = 0 f) רציפה. n} { f n = + מתכנסת במ ש ל- שאינה חסומה! השלם...) הערה 6.. עבור דוגמה.6. סדרת הפונקציות f n ) = n בקטע ] [0, אינה מתכנסת במ ש ל- 0 < =,f) כי f) אינה רציפה. = 36

37 = S) רציפה, כי ) S k מתכנסת במ ש אליה לפי k= sin k ) דוגמה.6.3 הפונקציה k מבחן ה- M של ויירשטראס. משפט 6. מבחן דיריכלה). אם בקטע I מתקיימים התנאים. ) S n ) = n a k חסומה באופן אחיד. כלומר S n ) < M לכל n טבעי לכל k=. I. סדרה {) b} n מונוטונית עולה או יורדת) מתכנסת במ ש ל- 0. אז הטור ) a k )b k מתכנס במ ש. k= לכל n מתכנס במ ש בקטע 00] [, כי k ) k= k= ) k +k דוגמה 6.5. הטור = ) b k סדרה מונוטונית מתכנסת במ ש ל- 0. +k ולכל, וכמו כן מתכנס בקטע [00,] כי מתקיימים תנאי מבחן דיריכלה: חסומה לכל n. עבור = πl כאשר k=0 sink) +k דוגמה 6.6. הטור = ) b k מונוטונית מתכנסת במ ש ל- 0. +k הסדרה n k= כעת נראה כי לכל מתקיים כי sink) l Z הסכום הוא 0. עבור אחר נקבל sink) = Imag e ik ) = Imagein+) ) e i k=0 k= e in+) e i e i שימו לב כי i e הינה פונקציה קבועה בתחום ההתכנסות) שאינה תלויה ב- n. f} n {) n N של פונקציות רציפות המתכנסות בקטע משפט 6.7. תהי סדרת פונקציות f n+ ) f n ) או f n+ ) f n ) אם.f) המתכנסת לפונקציה רציפה,[a, b] לכל n N ולכל b] [a, אז ההתכנסות היא במ ש. ], [ מתכנסת במ ש ל = f) דוגמה.6.8 סדרת הפונקציות fn ) = n בקטע 37.0

38 f} n {) n N של פונקציות רציפות אי-שליליות שסס ח מסקנה 6.9. תהי סדרת פונקציות שלהם מתכנסת בקטע [b,a] לפונקציה S) רציפה, אזי ההתכנסות במ ש. 6. אינטגרציה איבר-איבר {S n )} n N f} n {) n N של פונקציות רציפות וסס ח שלה משפט תהי סדרת פונקציות b a ) f k ) d = k= מתכנסת במ ש בקטע [b,a] לפונקציה.S) אזי.[a, b] אינטגראבילית בקטע S). ) b f k )d k= a. מתקיים b b כלומר, S)d = lim S a n a n)d שזו החלפת סדר הסכום והאינטגרל.) = 3. נבטא את האיבר הכללי בטור מתכנס לכל <, t והוא מתכנס k k = k= = S) ולהציב 0 t k dt t k = t. תרגיל 6.3. חשבו את k 3 k k= k= k k פתרון. נסתכל בטור באמצעות אינטגרל מסוים: שהוא פונקציה של!). בנוסף הטור במ ש בכל קטע [c,c ] כאשר < c < 0 לפי מבחן ה- M של ויירשטראס). לכן ניתן לבצע אינטגרציה איבר-איבר ולקבל 0 k= t k dt = k= 0 t k dt = k= k k = S) ומפני ש- 0 t k dt = k= 0 t dt = ln t 0 = ln 38

39 נקבל כי הפתרון לתרגיל הוא S/3) = ln 3 ) = ln3 ) 6.3 גזירה איבר-איבר f} n {) n N של פונקציות גזירות ברציפות. אם משפט 6.3. תהי סדרת פונקציות. הטור ) S) = f k מתכנס נקודתית) בקטע b].[a, מתכנס במ ש בקטע b].[a, k= k=. טור הנגזרות ) f k אז S) מתכנס במ ש ב-[ b,a] וגם גזיר, ומתקיים f k )) = k= f k) k= כלומר n),s ) = lim n S נגזרת הסכום שווה לסכום הנגזרות). תרגיל מצאו תחום התכנסות ותחום רציפות של ),S) = arctan ומצאו n k= arctan ) n lim n n = lim y 0 arctany) y את הנגזרת שלה אם קיימת). פתרון. עבור > 0 זהו טור חיובי. כיוון ש- = 0 0 ) = lim y 0 + y = המעבר נכון בגלל שיש התכנסות בצד ימין של המשוואה), נוכל להשוואת אותו עם שמתכנס. הטור = π n 6. לכן תחום ההתכנסות lim n k= n arctan 0 n ) 0 n k= עבור < 0 זהו טור שלילי שניתן להשוואת שוב עם = lim y 0 arctany) y הוא כל הישר הממשי. כעת נבדוק רציפות. עבור > 0 0, כיוון ש- 39 = 0 0 ) = lim y 0 + y =

40 .arctan 0 ) < n 0 עבור n מספיק גדול יתקיים כי n מפני שהפונקציה arctan) פונקציה עולה אזי נקבל כי לכל 0 0 יתקיים 0 יתקיים.arctan ) arctan n 0 ) < n 0 n מפני שהפונקציה arctan) פונקציה אי זוגית, נקבל כי לכל : ולכן בזנב הטור מתקיים לכל 0 arctan ) n < 0 n arctan n ) n=m n=m 0 n ולכן ההתכנסות במ ש בקטע ] 0 ] 0, לפי מבחן ה- M של ויירשטראס תחילת הטור לא תשנה). כיוון שלכל n הפונקציה ) arctan n רציפה, נקבל כי פונקצית הגבול בקטע ] 0 ]רציפה. 0, הואיל וכל ממשי נמצא באיזה שהוא קטע ] 0,[ 0, אז הרציפות היא בכל הממשיים. כעת נבדוק גזירות. נרצה להשתמש בגזירה איבר-איבר: לכל n מתקיים arctan ) n ) = + n = n n + n n ולכן טור הנגזרות מתכנס במ ש שוב, לפי מבחן ה- M של ויירשטראס). לפי משפט גזירה איבר-איבר מתקיים = ).S n= n + n 7 השלמה: פונקציות של שני משתנים הגדרה.7. פונקציה f : R R נקראת רציפה בנקודה ) 0 0, y אם lim f, y) = f 0, y 0 ),y) 0,y 0 ) y + y 0 f, y) = +y 0 + y = 0 תרגיל 7.. בדקו רציפות של הפונקציה 0

41 בתחום הגדרתה. פתרון. לכל 0,0) y,) הפונק ציה רציפה כמנה של פונקציות רציפות, שבו המכנה lim y=, 0 אינו אפס. עבור הנקודה 0,0) נבדוק שני מסלולים שונים lim =0,y 0 y + y = 0 y + y = lim 0 = 0 אבל כלומר הגבול לנקודה 0,0) לא קיים, ולכן הפונקציה f לא רציפה בה. y + y 0 f, y) = +y 0 + y = 0 תרגיל 7.3. בדקו רציפות של הפונקציה בתחום הגדרתה. פתרון. לכל 0,0) y,) הפונק ציה רציפה כמנה של פונקציות רציפות, שבו המכנה lim,y) 0,0) y + y = 0 אינו אפס. עבור הנקודה 0,0) נראה y 0 + y + y + y = + y,y) 0,0) 0 כי מתקיים כאשר אי השיוויון הימני נכון כי 0 y), לכן. + y y כלומר הגבול לנקודה 0,0) קיים ושווה לערך הפונקציה בנקודה, ולכן הפונקציה f רציפה בה. תרגיל 7.. העזרו בשיטת כופלי לגראנז מצאו על האליפסה הנתונה על ידי המשוואה = 9 +y 3y+ נקודה הרחוקה ביותר מהראשית ונקודה הקרובה ביותר לראשית.

42 פתרון. פונקציית המרחק של הנקודה y), מהראשית היא.d, y) = + y פונקציה זאת תקבל מינ או מקס אם ם הפונקציה f, y = + y תקבל ערך מינימלי או מקסימלי. נוסיף משתנה מדומה λ שנקרא כופל לגראנז ) כדי לבנות את הלגראנז יאן: L, y, λ) = + y + λ + y + 3y 9 ) L = + λ + y) = 0 L y = y + λ + 6y) = 0 L λ = + y + 3y 9 = 0 λ = כאשר. y מהמשוואה של L y נקבל מהמשוואה של L נקבל +y y + 3y) = 0 + y y + y 3y = 0 y = + y ומהמשוואה של L λ נקבל + y = 9 3y y 9 + 3y = 0 y = 9 y = ± 3

43 = 0 / + 9 = 0 ולכן בהצבה = 3 y במשוואה של L λ נקבל, = 6 ± = 3 ± 3 ) 3±3. בהצבה 3 = y נקבל כלומר יש נקודות חשודות, = 0 / 9 = 0, = 6 ± = 3 ± 3 3±3. ) כלומר יש נקודות חשודות 3, נציב בפונקציה את הנקודות הנ ל כדי לקבל את התשובה כי הפונקציה רציפה על קבוצה קומפקטית ולכן מקבלת ערכי מינימום ומקסימום בקבוצה זו. לכן התשובה היא f f ), 3 = f 3 3 ), 3 = = ) + = ) 3 = שהיא נקודת מקסימום כי עבור הנקודות האחרות נקבל מינימום: 3 3 ), 3 = f ), 3 = = ) + = 36 8 ) 3 = 8 9 תרגיל 7.5 ממבחן). מצאו את ערכי המינימום והמקסימום של הפונקציה f, y = y 3. בתחום y +

44 פתרון. הפונקציה רציפה בקבוצה קומפקטית עבורנו זו קבוצה סגורה וחסומה) ולכן מינימום ומקסימום מתקבלים. החשודות בתוך התחום על השפה. לכן מספיק להשוות את ערכי הפונקציה בנקודות f = y = 0 f y = = 0 } 0, 0) {, y) : + y ) L, y, λ) = y + λ + y ) L = y + λ = 0 L y = + λ 8y) = 0 L λ = + y = 0 נמצא נקודות חשודות על השפה λ = y עבור 0 ומהמשוואה של L y נקבל מהמשוואה של L נקבל y 8y = 0 6y = 0 = 6y ונציב במשוואה של L: λ y + y = 0 y = 8 y = ± 8

45 ,, 8 ),, 8 ),, 8 ) ולכן ± =. הנקודות החשודות הן 0),0, ). הערכים בנקודות האלו הם, 8 f f 0, 0) = 0 ), f = f ), = 8 8 ) ),, = f = 8 8 ma min תרגיל 7.6 ממבחן). תהי הפונקציה f, y = y + בתחום סגור D המוגבל ע י הישרים = 0,.y =,y = 0 האם יש ל- f מקסימום בתחום זה? אם כן, מצאו אותו. פתרון. הפונקציה y f, רציפה בקבוצה קומפקטית ולכן מקבלת בקבוצה זו מינימום ומקסימום. נמצא את הנקודות החשודות בתחום f = y + = 0 y = f y = = 0 ) 0,. נמצא נקודות חשודות על השפה ונשים לב כי / D y = 0 f, 0) = f = 0 = 0 f0, y) = 0 y = f, ) = ) + = 9 f = 9 = 0 = 9 y = 9 = 7 5

46 9 ואת קודקודי המשולש 0),0,, 7 ) כלומר צריך לבחון את y) 0, עבור y,0 ),0, 0)., נקבל f f0, 0) = f0, ) = 0 f, 0) = 9, 7 ) = = = 8 6 = 5 6 = ma והמינימום מתקבל עבור y) 0, לכל y.0 תרגיל.7.7 מצאו את נקודות קיצון מקומי של הפונקציה 39 f, y) = 3 +3y.36y + 6 פתרון. הנגזרות החלקיות הן f = 3 + 3y 39 = 0 f y = 6y 36 = 0 ונקבל זוג משוואות + y = 3 y = ומסכום והפרש שלהן נוכל לחשב + y) = 5 = + y = 5 + y = 5 y) = = y = y = 6

47 נקבל ארבע נקודות עבור ארבע האפשרויות + y = 5 y = = 6 3, ) + y = 5 y = =, 3) + y = 5 y = =, 3) + y = 5 y = = 6 3, ) ההסיאן של מערכת המשוואות יזהה אלו נקודות חשודות הן מינימום ההסיאן חיובית לחלוטין, כלומר כל הע ע חיוביים), אלו הן מקסימום ההסיאן שלילית לחלוטין) H = f f y f y f yy ) ואלו הן אוכף ערכים עצמיים שוני סימן): = 6 6y ) 6y 6 המינורים הראשיים שלה הם y ), = 6 36 =. נציב ונקבל 3, ) = 8 > 0 3, ) = 369 ) > 0 = min, 3) = < 0, 3) = 36 9) < 0 = saddle, 3) = > 0, 3) = 36 9) < 0 = saddle 3, ) = 8 < 0 3, ) = 369 ) > 0 = ma וערך הקיצון במינימום הוא f3, ) = = = = 00 7

48 ובמקסימום f 3, ) = ) ) 39 3) 36 ) + 6 = = = 5 מקורות [] אתר הקורס,. 8